Amenability, Hyperrniteness and Isoperimetric Inequalities

We formulate two new criteria of amenability of discrete equivalence relations: in terms of asymptotically invariant families of leafwise probability measures and in terms of isoperimetric properties of leafwise graph structures. These criteria lead to a geometric proof of the Connes{Feldman{Weiss theorem on coincidence of amenability and hyperrniteness for equivalence relations. Nous consid erons les relations d' equivalence discr etes R sur les espaces mesurables de Lebesgue (X;). Les relations d' equivalence les plus simples sont celles a classes nies. Une relation d' equivalence (X; ; R) s'appelle hyperrnie s'il existe une suite croissante de relations nies R n telle que R = S R n. D'autre part, on dit que la relation d' equivalence (X; ; R) est moyennable s'il est possible d'associer mesurablement a-presque tout point x 2 X une moyenne p x sur la classe x] dans telle mani ere que p x = p y pour presque tout couple (x; y) 2 R. L'hyperrnitude imm ediatement implique la moyennabilit e; la r eciproque a et e d emontr ee par Connes{Feldman{Weiss 4]. Nous sugg erons une nouvelle approche du probl eme du rapport entre l'hyperrnitude et la moyennabilit e qui donne, en particulier, une nouvelle d emonstration du th eor eme de Connes{Feldman{Weiss. Cette approche s'appuie sur la caract erisation des relations d' equivalence moyennables dans les termes des familles de mesures de probabilit e asymp-totiquement invariantes sur les classes d' equivalence et dans les termes des propri et es isop erim etriques des relations d' equivalence graph ees (Th eor eme 1). Une structure de graphe sur une relation d' equivalence est donn ee par l'ensemble K R de ses ar^ etes. Soit x] K la classe de x munie de la structure K et @ K A A le bord d'un sous-ensemble A x] par rapport a la structure K. La structure K s'appelle born ee si les degr es des sommets des graphes x] K et les valeurs du cocycle de Radon{Nikodym D(x; y); (x; y) 2 K sont uniform ement born es. Rappelons qu'un Note pr esent ee par Alain Connes. 1 2 graphe ? est dit \FFlner" s'il existe une suite de sous-ensembles nis A n ? telle que j@A n j=jA n j ! 0. Nous donnons un exemple tr es simple d'une relation d' equivalence non-moyennable a mesure invariante nie dont presque chaque classe est \FFlner". Cet exemple utilise …